東京工業大学 後期 2001年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

与式を同値変形すると

だから，これを示す．両辺計算すると

となり，(式2)は示された．(答)

(2)

まずについて考える． は周期 の周期関数だから である． (1) で示された不等式の各辺にを足して

であり，従って

が成り立つ．この範囲ではは負であるから，

である．

次にについて考える．同様に(1)で示した不等式の各辺倍して

であり，従って

を得る．この範囲ではは正であり，の周期性よりだから，

を得る．以上(式7),(式10)より

であり題意は示された．(答)

(3)

簡単のため

とおく．の周期性より

となることに注意する．

(1) で示した式の各辺 () 倍して，

である． の時，

である．従って，

である．この区間ではは単調増加である．

さらに，は単調増加であることが以下のように示せる． (式17)より，に対して

である．ただし

を利用した．

以上(式17),(式21)より，

が成り立つ．この区間内では単調増加だから，

が成り立つ．従って(式15)よりのときに注意して

となる．よって題意は示された．(答)

(4)

であることを示せば，題意は示される． (3) の(式17)でとして

この区間でだから，

だからである．

次にについて，(式17)でとして

である．この区間では負だから

である．以上よりであり，が増加列ではないことが示された．(答)

【解説】

あまり見ないタイプの三角関数および数列の問題． 若干面食らうものの手がかりがなさすぎて(1)を使うしかないため，逆に解法としては一直線になるしかない． ポイントとしては(1)で

とをかなり厳しい不等式で評価しているので，これをの評価に使っていくことである． は整数に対してを単調増加の一周期と捉えられる．したがって

が成り立つ．また，正負の反転はで発生することに注意しよう．

(2)は (1)の両辺にをかけると

となって，とすると

だから，より示された． 答案では位相をずらしてわかりやすくしているため一見複雑に見えるが，(2)はこれだけで示せる．

(3)(4)もほぼ同様に示せる．の形を考えればよく，この時(1)の不等式の両辺倍すると

ここでポイントとなるのは，のとき

となるから，この不等式の評価の幅は常に以下ということである． これによっての一周期以下の幅にたちが収まってくれる，というわけである．