東京工業大学 後期 2000年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

より，はを因数に持ち，

と書ける．これ以上の分解はできないため，これが答えである． (答)

(2)

新しく

とおく．の三次の係数が正だから，の解の数によって関数の概形が図1の4パターンに変化する．

の判別式は

である．の時 は2実解 (重解を含む)をもつ．これらの解がと等しい場合があるかを調べる． この時の解は

である．これがと等しいとき，

両辺二乗して

である．との関係では，常に

が成り立つ．等号成立はのときであり， この時，であり，

とを重解を持つ． それ以外の時は，はおよびそれと異なる解を持つ． 以上の事実を念頭に以下場合わけを行う．

以下場合わけをして考える．全体像は表1である．

の解の数	の条件
3つ	以外に異なる2実解を持つ
2つ	以外の重解を持つ
2つ	とそれ以外に解を持つ
1つ	実数解なし
1つ	に重解を持つ

1. が異なる三つの実数解を持つとき．

   この時は，が異なる二つの実数解を持つ，つまりである． この時はの解がではあり得ない． 従って

   の時である． このもとで題意の条件を満たすには，の最も大きい解が以下であれば良い．

   (式4)より，求める条件は

2. が異なる二つの実数解を持つとき．

   この時は，での解がでないときか，での一つの解がとなる(がの重解となる)ときである． 前者の時はより

   であり，この時の重解は である．これがと一致しないことによりが必要． 題意の条件は

   である．

   後者の条件は，(式9)より

   であり，この時のもう一つの解は解と係数の関係から

   である．題意の条件はこれが以下であることで

   である．

3. がただ一つの実数解を持つとき．

   これはが三重解を持つか，またはの時のときである． 前者の時はであり，この元で題意の条件はであるから，

   となる．

   後者の時はかつであればよく，

以上をまとめると，以下の4つの条件となる．

これを整理して

である． 平面にこの条件を図示すれば，図3の斜線部が求める答えである． ただし，実線部および境界を含む．

(答)

【解説】

方程式および多変数関数の問題．(1)は色々試せばを因数として持つことがわかるのですぐに答えを導ける． 本題は(2)の方で，三次関数の形の違いによって求める題意の条件が異なるので，場合わけによる正確な処理が求められる． 特に注意しないといけないのはの解がとなるかどうかという点である． この場合はの方で重解を持つことになるので，が重解を持つのとは別のパターンとして処理が必要である． 結果的に表1のように5パターンの場合わけを処理すれば解答に辿り着ける．

簡単な検算としては，で，これが条件より以上なのでであり， 最後の図3はこの条件を満たしているのでぱっと見大丈夫そうなのが確認できる．