東京工業大学 後期 2002年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

だからなので，第一項は公比の等比数列の和である． 従って，

となる． (答)

(2)

(1)の両辺をで積分して絶対値をとると

である．以下各項を評価する．まず左辺第一項は先に積分を処理することで

であり，右辺は積分区間内でよりだから

となる．(式5),(式7)を(式3)に代入して

となり，題意は示された．

(3)

(2)で示した(式8)の右辺はでに収束するから，挟み撃ちの定理より

である．右辺の積分はと置換すると

だから，(式9)に代入して

である． (答)

【解説】

積分や極限の問題である． かなり誘導が丁寧なので，誘導に乗っていけば解けるだろう．

(1)は要するにの冪級数展開をしているということに気づくと見通しが良い． すなわち，

なる公比の等比級数を考えると，これはの時に収束し，その値は

である．(1)はこれを項目で打ち切った時の誤差を評価させているわけである．

さて，この問題は有名な無限級数の一つであるライプニッツの公式を証明する問題である． 式をあらわにかくと，これは交代級数になっていて

という綺麗な形である．

より一般的には，以下のグレゴリー級数が知られている．

ライプニッツの公式はこのの場合である．

ライプニッツの公式は入試の題材としてよく利用されており， もう一つよく出題される証明方法がるのでそちらも解説しよう．

なる数列を考える．漸化式を立てると

ただし，途中なる変数変換を行った． この式の両辺にをかけて，について足し合わせると

を得る．初期条件は

であり，さらにより漸化式から

だから挟み撃ちの定理により

だから，

となり示された．