【解答】
(1)
は偶数とし, , とおく.
(1)
の時. とおくと，であり，
と が一致するとすると
ただし，ここでが偶数であることを用いた．
両辺正だから, 自然対数をとって
である．
ここで とおくとこの条件は
と表せる．
の一階微分は
であり，またの極限値は
で与えられるから，の増減表は表1となる．
表 1: の増減表
よってのグラフは図1となる.
図 1: の概形.で最大値をとる．
ここで が以上の偶数であるから図よりであり，(式6)より従って
である．
グラフの概形から(式5)が成立するがにただひとつ存在する．
したがって はにただ 1 つ交点を持つ.(答)
(2)
の時. 共に正だから, (1) と同様に自然対数をとって考えると
である．
図1およびが以上の偶数であることから
である．
従って図1からこれみたす は 2 つある.
最後にの時は , だから, は交わらない.
以上でについて全ての場合が考えられた．で一つ，で0個，で2つの解が存在する．
の交点の数は の実解の数に等しいことから
あわせて つの交点がある.(答)
(3)
とおくと，(1)の結果から である．
の条件から,
である.
のとき，図1から だから,
(式5)より
である. これを満たすには図1およびから
である．これを(式15)に代入して
である．(式17),(式18)より，求めるの極限値は
である．(答)
【解説】
典型的な関数や極限の問題である．
との交点の座標はを消去した式
の解であることを利用してこの式の挙動を調べていくことになる．
答案では両辺の自然対数をとって変数をとで分離する方針をとった．
自然対数をとるときにかかが大事であり，それに応じて方程式は
という形になる．(1)での場合を，(2)での場合を考えている．
いずれにしてもの挙動がわかればこの方程式の解の挙動がわかるため，のグラフを書いて考えている．
するとの時にはが一対一対応するのに対して，の時にはを与えるが二つ存在するため，結局解の数がつになる．
図 2: の概形と，の解
