【解答】
個のものを数字のからであらわし，一つの並べ方を桁の整数で表す．
場所をこの整数の桁目に対応させる．
わかりやすさのため桁目の数字をとする．
よって一つの並べ方はとなる．
最初の並べ方は場所に整数が置いてあるパターンとする．
例えば，のとき，最初の並べ方はであるとする．
(1)
の時，つのものをの整数であらわして，全ての並べ方をリストアップすると
表 1: の時の並べ方の一覧
の通りだから，である．(答)
(2)
とする．
対称性からとなる並べ方は等しいので，以下として考える．
にを題意を満たすように並べれば良い．
\underline{\textbf{ の時．}}
にを題意をみたすように並べれば良く，通りある．
\underline{\textbf{ の時．}}
はからのどこへでも配置できる．
をで置き換えれば，をからのどこかに配置することになり，はには置けないから，
これは要するにをに条件を満たして配置することと同じである．
従って場合の数は通りである．
以上で全ての場合が尽くされているから，求める場合の数はを動かして倍した
である．よって題意は示された．(答)
【解説】
場合の数の問題で，ものを並べていくという意味では1991年の第一問の類題と言えるだろう．
(1)は書き下せば良く，(2)は個目（または個目）を固定して考えればそこまで難しくはないだろう．
(1)の検算として，の時のを計算して(2)の漸化式に代入することが挙げられる．
まず，の時はの一通りだから
である．
の時は実際に書き下すと，
表 2: の時の並べ方の一覧
のふた通りで
である．
よって，(2)の漸化式でとすると
となって(1)の結果と合致しているので検算できた．
さてここからが本題である．
この問題で扱った「n個の要素の順列で，どの要素も元の位置にない順列」のことを，完全順列と呼ぶ．
今回の問題ではから定義されていたが，もちろんの時はである．
さて，漸化式から一般項を求める．この漸化式は以下のように変形できる．
従って漸化式を繰り返し用いてを用いると
である．次にこの式の辺々をで割って
だから，漸化式を繰り返し用いての時
だから第二項はであり
となる．右辺がのとき, の時を与えることを用いて，和の範囲をからに変更できる．
これが一般項である．
標準的にはの時にもとして拡張する．
大学に入ってテイラー展開を習うと，この一般項は以下の指数関数のテイラー展開に酷似している．
実際ここにを代入するとに一致するので，での極限は
となる．
は制約なく個のものを並べた時の場合の数だから，全体の場合の数のうち完全順列の場合の数がであることがわかる．
