東京工業大学 後期 1999年 第2問 (解答解説)

【解答】

はじめから(2)のような一般的な状況を考える．すなわち，自然数 に対して 個の円を用いて操作を行っていく．そこで最初に(2)から考えよう． 回目の操作で描かれる円の半径をとおく．

まず初期条件を考える．ひとつの円の中心を，隣接する円との接点とする．図2で だから

と求まる．

円の半径の一般項とを考える．図3で回目の円の中心とおく．半径の最初の円の中心とし，から各円に接する直線をとする．からにおろした垂線の足をとおく．からにおろした垂線の足をとおく．

線分の長さは半径に等しい．別の表現でを計算すると

となる．したがって

なる漸化式を得る． (式3),(式8)から等比数列の公式より，一般項は

となる． として だから，円の面積の総和は

である．円周の総和は

と求まる．

(1)

(式13),(式16)にを代入して

である．(答)

(2)

(式13),(式16)が答えである．

(答)

(3)

(式13)のの極限をとって

である．ただし，でであることを用いた．(答)

【解説】

平面図形の問題．1995年の1番とほぼ同様の円を敷き詰めていく問題である．特に漸化式の導出はほぼ全く同じなため，過去問演習をやっていた人にとってはボーナス問題だった可能性が高い．

問題としては漸化式が立てば極限値の計算は非常に容易であるから，漸化式が立つかどうかがポイント． との関係を丁寧に図に落として立式しよう．

(1)は本来誘導の意図だろうが，漸化式が立つという見通しがあれば先に(2)に手を出して，(1)はあとから値を代入すればだいぶ時間の短縮になる．