\tdplotsetmaincoords{70}{100}
【解答】
図 1: ,の様子
図 2: 上の点と直線の距離．
(1)
まず， での の切断面を求める．(1)の答えは最後にとすれば求まる．
対称性から とする.
との様子を図1に示す．
と の距離が だから, 上の点 のみたす条件は,
と の距離が であることである．
から に下ろした垂足 とすると,
は の への射影だから,
の方向ベクトルを として
である． にピタゴラスの定理を用いて(式3)を代入すると
これが に等しいので,
を得る．これが の方程式である．
での切断面は，(式5)にを代入して
という楕円である. 図示すると図3のようになる．
図 3: 楕円: の様子
従って，(式7)にを代入して，平面での断面は
である．(答)
(2)
次に，を軸周りに回転させたの方程式について考える．
(2)の答えは，最後にを代入すれば求まる．
の での切断面 を原点中心に回転させたものがである．
従って，上の点で, 原点からの距離が最大の点を , 最小の点 とおくと,
この平面での回転体の範囲は
であり，面積 は
で与えられる.の様子を図4に示す．
図 4: 回転体のでの断面
の時は明らかに である.
以下 の時を考える.
上の点 は, とおける.
ただし とする.
この時のを考えると
であり，だから,
の最小値，最大値はによって以下のようになる.
まず最小値は
であり，一方最大値はのときで，で一定である．
この時である．
したがって, (式10),(式14)からでのの領域及び面積は以下のようになる.
従って，求めるの平面での断面は，(式16)にを代入して
であり，図示すると図5のようになる．ただし境界を含む．(答)
図 5: (2)の回答の領域，すなわち の 平面での断面．
(3)
対称性から，(式19)をで積分したものの2倍が求める体積である．
である．各項積分すると
だから(式22)に代入して
が求める体積である．(答)
【解説】
空間図形の問題．回転体の回転体という面白いコンセプトである．
まずはの方程式を導出できるかどうかが分水嶺だが，
その後も場合わけがあったり計算強度もそこそこ高いので最後まで気が抜けない．
まずの方程式を求める部分だが，これは空間における点と直線の距離を求める問題と言える．
空間中の直線が方程式と表されている時，空間内の点の位置ベクトルとすると
との距離は
で与えられる．
もちろんこの公式は覚えている必要はなく，必要になったら解答のように導けば良い．
そのため，導出方法をここであらためて紹介しよう．
点からにおろした垂線の足をとすると，はのへの正射影だから
であり，
の大きさを求めれば良い．
変形すると
となり示された．
次の(2)は楕円を回転させたときの図形がどうなるかを考えれば良い．
この手の回転の問題は，単に原点から最も近い点と最も遠い点だけわかれば良いことに注意しよう．
すると，原点から最も遠い点は常に一定だが，原点から近い点はの値によって変化し，場合わけが必要になる．
解答中の工夫としては，(1)も(2)も平面や平面といった特殊な場合を考えさせているが，これらを全て一般的に求めている点である．
こうすることで(3)の負担が軽く，さらに全体としても見通し良いものになっているだろう．
この手の誘導問題は，誘導に乗っても乗らなくても良い（自分の好きなように解けば良い）ということはあらためて覚えておきたい．
