東京工業大学後期 1997年第2問 (解答解説)

【解答】

対称性から，がAに一致する確率をとおくと，がB,C,Dに一致する確率もにひとしい．がOに一致する確率をとおく．はO,A,B,C,Dのうちいずれかに一致するから，全体の確率がとなることより

を満たす．

次にの漸化式を求める．でがに等しい時，でははA,B,C,Dのいずれかに存在し，そこから確率でに移動する．したがって漸化式は

である．(式1)を代入してを消去して

を得る．特性方程式の解はだから，漸化式を変形すると

だから，これとから

となる．(答)

かなり容易な確率漸化式の問題である．問題のポイントとしては，特に確率をどのように指定するか明示がないので自分でうまいこと設定する必要があるところだろう．四角錐OABCDの中で点Oだけが特別であり，他のABCDは対称であることを使うと，解答のように二つの変数で漸化式を導ける．

数列の一般項が出てくる問題では，での極限の振る舞いがそれらしいかを確かめたい．実際今回の場合は

となる．この数値自体が正確かはすぐにはわからないが，

となっていることは，点Oの特殊性を考えるとそれらしいだろう．