東京工業大学 後期 1997年 第1問 (解答解説)

【解答】

方針として，まずの軌跡を求め，ついで面積を求める．

そこでまず の軌跡を求める． 題意の直線の 2 端点 P, Q () とおく． この概形は図1である．

, だから，

ここで，, とおく． および から

となる．題意の中点を とすると

となることに注意する．さらに，(式2)を と で書くと

で，これは(式3)を満たす．(式5),(式8)に代入しておよびを消去して, の関係を求めれば，それが求める軌跡である． (式5)からだから，(式8)から，

である，これがの軌跡である．はすべての実数を取る．

以上より，求める面積は図2の斜線部である．

とが偶関数だから，の部分の面積の倍が求める面積であり，

ここで， () とすると，，又 となる があるので， (式15)に代入して

と面積が求まる．より，でだから，(式19)の極限は

となる．(答)

【解説】

かなり典型的な軌跡の問題である． 軌跡さえもとまれば後半の積分部分はただの計算であるから，前半軌跡を求めるところまでがポイントである．

軌跡を求める部分はわかりやすく対称式を利用することになる． 式の形的によりも，解答のようにとおいた方が計算は多少楽だろう．

求めた軌跡

はの極限で

に漸近し，かつでになっており，最もらしい軌跡であるから一定検算できて安心だろう．

後半の積分部分は

という典型的な形の定積分であり，の形の置換で解ける． この積分の一般的な形の原始関数は

になることは受験生ならば覚えておきたい．