東京工業大学後期 1998年第1問 (解答解説)

【解答】

まずはの一般項を求める．

ここで

とおくと，これは区分求積の形になっており，の時以下のように収束する．

次にの残りの部分を考えると，

である．以上をまとめると，の時収束し，その収束値は以下のようになる．

(答)

極限の問題であり，級数

の評価がポイントである．これは普通の級数の和としては求まらないが，のときは区分求積法を利用すると計算できて必ず収束する．の時だけ場合わけが必要なことに注意しよう．

あとは残りの部分の評価をすれば良い．

と書ける時，がで非零の値に収束するならば

と，極限を部分ごとに計算できることを利用している．

ここで注意したいのが，もしがに収束する場合は不定形になってしまうのでこのような分割は使えないことだ．ただし今回の問題の場合はそのようなことはないので問題ない．