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東京工業大学 後期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
#平面図形
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📊 0 (サマリ) 第1問 (問題) 第1問 (解答)

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東京工業大学 後期 1996年 第1問 (解答解説)

📝 問題

円 上の2点 P と Q を通り円 と直交する円を とする．ただし，円 と が直交するとは交点におけるそれぞれの接線が直交することをいう．このとき次の問いに答えよ．

  1. のとき の内部と の内部の共通部分の面積 を求めよ．

  2. の内部にある の円弧 PQ の中点を とする． が の範囲を動くとき の軌跡の方程式を求めよ．

  3. の軌跡と 軸で囲まれる部分を 軸のまわりに回転してできる立体の体積 を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

,の中心をそれぞれ,とする． 図1に概形を示す． 題意より，点での接線とが直交し， また点での接線とが直交する．

円$C$と$C_{\theta}$

図 1: 円と

したがって，とおくと,

②

である. したがって, の半径は

である．ただし，最後の行で倍角公式を利用した． したがって，

となり，であることがわかる．

円$C$と$C_{\theta}$，および求める共通領域の面積．

図 2: 円と，および求める共通領域の面積．

求める共通領域の面積は, 扇形と扇形の面積の和から，四角形を引いたものに等しい． に注意して，

扇形扇形四角形

より，求める面積は

扇形扇形四角形

である．(答)

(2)

線分の長さは，倍角公式より

と表せる．

円$C$と$C_{\theta}$，および$A_{\theta}$の様子．

図 3: 円と，およびの様子．

は線分上にあって，線分の長さは

だから，

とかける．

において，より，だから，

を代入して

1つ目の式からを消去して

を2つ目の式に代入して

がもとめる軌跡である．(答)

(3)

(2)でもとめたグラフはでであり，図4のようになる．

$A_{\theta}$の軌跡．

図 4: の軌跡．

したがってもとめる体積は

となる．(答)

【解説】

平面図形の問題． ポイントは対称性からと，直線がを半分に分割する直線になっていることである． 本解答では座標からこの事実を導出したが，対称性からこの事実を認めてしまえば，の座標は直線

との交点であるからと求まる． 以降の計算もを用いて行ったほうが見通しが良いため，そのように変形している．

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