東京工業大学 後期 1995年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

図1のように，立方体の頂点A, B, C, D, E, F, G, Hに対し題意の3面を ABCD, AEFB, AEHDとする. 各球の中心は 立方体及び球の対称性から対角線AG上にある． の中心を，半径をとおく． 断面AEGCを図2に示す．,より，と置くと

が成り立つことに注意する．

半径に関する漸化式を導出することでの一般項を求める． 円とに着目して図3を考える．

からに引いた垂線ととの交点をと置くと，その定義よりの長さはに等しい． 一方で，からに引いた垂線との交点をと置くと，

と表されるので，との関係は

となる．と合わせると，この等比級数の解は

となる．ただし，(式1)を用いた．(答)

(2)

立方体 の中でどの () にも含まれない部分の体積をとする． 求めるべき値はである． 同士は互いに体積を共有することはないから， 体積は立方体の体積から，の体積を減じたものに等しく，

となる．

だから求める体積は

である．(答)

【解説】

空間図形と数列や極限をうまく融合した問題である． (1)の漸化式さえもとまればあとは機械的な計算で解けるため，(1)の前半がポイントだろう． 逆に(1)がとければ(2)はボーナス問題であり，点差がつきやすいと言えるかもしれない．

問題としては球を考えているが，結局全ての球の中心は四角形上にあるからこの断面で考えればよく，平面図形の問題に帰着する． その上で，漸化式を求める部分ではとを考えて二つの関係をなんとか導出すれば良い． 解答中ではを考えたが，他にを考えるなど，（本質的には同じ）いくつかのやり方がある． いずれも計算時間は大差ないだろう．

解答中の細かい計算上のポイントとしては，を導入して極力代入を遅らせている点が挙げられる． この問題に限らず，入試で部分点を極力取りにいくという姿勢にたつと，先に代入すると計算ミスが発生しやすい上に，ミスが追いにくいという問題がある． もも値としては簡単な値だが，最後の最後を求めるところまでは代入の必要がないのでわざわざ文字でおいている．