東京工業大学 後期 1994年 第1問 (解答解説)

【解答】

題意の2つ目の条件の絶対値を外すと は以下のように定義される：

(式1)から は で微分可能である．そこで，題意の一つ目の条件式を両辺で微分することで

がなりたつ．(式1)の両辺をで微分して，

を得る．したがってはで連続である．

さて，題意の条件(i)より，はでも連続でなければならない．そのためにはの両側極限が同じ値に収束すればよい．

これらの左右極限がひとしいためには

でありこの時 または である．また，

となる．以下場合分けして残りの条件(ii),(iii)から定数,,を決定することでを求める．

(a) の時

(式1)からとなる．(ii)からすなわちである． したがって(式3)からだが，これは(iii)のに反して矛盾．

(b) の時

(式1),(式3)から，およびは

と表せる．(ii)(iii)を代入して，

を得る．以上からもとめるは

である．この関数は題意のすべての条件を満たす．(答)

【解説】

多変数関数の問題．5つの条件を条件をひとつずつ処理していけば良い． 手順としては条件(ii)がに関するもので，その他がに関するものなので，先に(ii)を処理してから他の条件を処理するとすんなりいく． の原始関数が二次関数なのでは一次関数となり答えがもっともらしいことを確認できる．

受験上のテクニックとしては，この手の問題は条件(i)から(iiiき)が簡単に検算できるためやる癖をつけたい．