東京工業大学後期 1993年第1問 (解答解説)

【解答】

図1のように，一辺の長さが1の立方体の8頂点を定める．回転軸をOEとし，その方向ベクトルを

とする． OE上の点 ()を通り，に垂直な平面で立体を切断したときの断面積を考える．これをOEを軸に回転させたときの面積をとする．最終的に，このを線分OEに沿って積分することで，回転体の体積を求める．対称性から，についてのみ考えれば十分である．

まず，断面積の計算を行う．の大きさで場合分けして考える．

\underline{\textbf{ の場合}}

断面は図2のように，3点を頂点とする正三角形となる．回転の軸となる点から最も遠い点はこの三角形の頂点である．例えば，点Qを考えると，回転体の半径の2乗はで与えられる．

より，この場合の回転断面積は

となる．

\underline{\textbf{ の場合}}

断面は図3のような六角形となる．この六角形の頂点の一つは，例えば辺AB上の点Qである．

対称性から点と各頂点の距離はいずれも等しく，回転半径は点とこの六角形の頂点との距離で決まる．

よって，この場合の回転断面積は

となる．

続いて，体積の計算を行う．この立体は（立方体の中心）に関して対称であるため，体積の半分をからまで積分して求める．積分要素はの移動距離であるためとなる．

ここに(式5),(式11)を代入して

したがって，求める体積は，

である．(答)

立方体を回転させるシンプルな問題だが，断面図には二つの場合わけが必要である．うまいこと座標を設定して断面を求められれば良い．

いくつか基本的な事項を確認しておこう．まず，空間上である法線ベクトルをもち，点を通る平面の方程式は，ベクトル表示で

と与えられる．パラメータ表示すると

となる．今回の場合，点を通り，法線ベクトルがなので，切断平面の方程式は

というわかりやすい形になる．従って，解答中では利用しなかったがこの方程式と立方体の交点を求めることでも断面の面積を求められる．

次に，空間中で方向ベクトルとして点を通る直線は，パラメータを用いて

と表せる．

このパラメータ直線上の点からまで直線に沿って，あるスカラー量を積分することを考える．微小線素をと置くと積分は

と表せる．今回の問題のように位置ベクトルが

と単純にパラメータで表せる場合，微小線素は

と表せる．がそれぞれに対応するとすると，積分はによって

と表せる．

今回の問題では，積分は線素の絶対値に関するものだから

となり，この時，線素とパラメータの変換は

のように，方向ベクトルの大きさ分の余分な係数がかかることに注意が必要である．