東京工業大学 後期 1993年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

は上三角行列であり，二次単位行列

および

と定義すると

となる．が単位行列ゆえとが可換だから，二項定理が適用できて

を得る．ここで，(式3)より

が成り立つから，(式7)で非零の要素はのみである． したがっての時

と計算できる．の時もこの式が成立するから，任意の自然数に対して

である．(答)

(2)

題意の条件は

である． (1)の結果より，まずをで割った余りは常にであり，よっては常に成り立つ． ついでだから，について条件が成立すればについても成立するので，のみ考えれば良い．

そこで以下，について検討する． 法をとする合同式を考えると(式17)は

と書けるから，これを満たすの条件を求めれば良い． 一つ目の条件からが偶数であり，二つ目の条件からがの倍数である． よって，がの倍数であることが求める条件であり，題意は示された．(答)

【解説】

行列と整数の問題．(1)が行列，(2)が整数と独立しており，どちらも素直で容易な問題である．

(1)はの性質を利用して二項定理から一発で答えを求めたが，もっと愚直に漸化式から導く方法も考えられるので紹介しよう． をふた通りであらわして

だから

を得る．初期条件と合わせて，まずが

と求まるから，残りのの漸化式に代入すると

となり，これらの漸化式も普通にとけて

と求まる．

または，ちょっと大袈裟だがを計算するのにケーリーハミルトンの定理を使う方法もある．

に代入して

より，

だから，特性方程式から

と変形できる．漸化式を繰り返し用いて

を得る．ここで

だから

となり，成分ごとに表示すると

となって，先ほどの結果に合流する．

(2)は題意の条件を合同式で同値変形していけば求まる．ここで

が成り立つことに注意しよう． 今回の問題ではであることを使って式を書き換えている．