【解答】
とおく．二項係数が整数であるから,
を自然数として
と表せる．およびのみたす漸化式を求めるため，をおよびで表すと
となる．初期条件はのとき
となる．
以下, 条件式
が任意ので成り立つことを数学的帰納法で示す．この命題が示されればとおくことで(式4)から
と表すことができる．
の時の成立は(式8)より明らかだから, での(式9)の成立を仮定し, での成立を示す．漸化式(式7)より
および
だから， が成り立つ．
よってでも(式9)は成立する．
以上から(式9)は示された．したがって
とおくと となり，
を得る．以上で題意は示された．(答)
【解説】
いわゆる二次体の問題である．二次体とは，平方数でない整数を用いて
と表されるような数の集合である．ここでである．
二次体の整数論は大学の代数学で学ぶ内容なのでここでは深入りしない．
とペアとなるを同時に考えることでもっと綺麗に解けるので別解として示す．
このようなペアのことを，整数論では共役と呼ぶ．（複素共役もこの一種である．）
と定義すると，と同様に
とかける．との積を計算すると
である．一方この積はとを使うと
と書ける．従って
をえる．これは(式9)であり，以下容易に題意が示される．
