東京工業大学 後期 1991年 第2問 (解答解説)

【解答】

座標平面上で考える．円Kを原点中心半径の円とし，正方形ABCDをとする． K上の点Pをとする．対称性から で調べれば良い．

点Pが直線DA上にくる時，であることに注意する．線分PO と角 をなす半直線 とする．を大きくしていったとき， が正方形ABCDを通る条件は， によって異なるため，

の2つの場合分けで考える．(式1) の場合は， が最大となるとき は A または B を通る．したがって，, のうち，小さい方が最大の を与える．一方で(式2) の場合は， が最大となるとき は B または D を通る．したがって，, のうち，小さい方が最大の を与える．これらの場合をそれぞれ図に示す．

これらの条件を数式に起こすと

となる．この区間ではであるから，の最大値はの最小値に対応する．以下ではの最小値を求める．

まず，, , の表現について考える．対称性からについて考えれば十分である．に余弦定理を用いると，

を得る．ここで，PがK上の点であるからであること，およびを利用した．ここで新しく関数を

で定義すると，残りの2つの角についても同様に，

と表せる．の増減と，を動かしたときの各線分の長さの取りうる値から，の最小値を求める．

から，の増減表およびグラフの概形は図のようになる．

(i) の場合

この場合，

だから，のグラフの増減から，

となる．ここでとおいた．のグラフの概形よりだから，このときのは(式3)よりすなわちである．

(ii) の場合

この場合，

だから，のグラフの増減から，

となる．より，したがってこのときのは(式4)よりすなわちである．

以上(i),(ii)から，どちらの場合もである．したがって，求める最大値はである．(答)

【解説】

平面図形の問題． 「2本の半直線が正方形ABCDを通る」というのをそのまま数式に起こすのは大変だが，最大値や最小値を求めるだけということで極端な場合だけを考えればすむことに気づけるかがポイント． また，図形的な図形的な感覚を使えばほとんど計算なしで答えも出せる良問だろう．

今回の回答では，(式3),(式4)からの最大値を関数を導入してかなり丁寧に求めたが，,,が単調に変化することは図から自明としてしまっても良いかもしれない．この場合は後半の解答は細かい数値の比較は除いて以下のように簡略化できる．

(i) の場合

図からこの区間ではで最小値を，はで最小値を取る．このうち小さいのは後者であり，求めるである．

(ii) の場合

図からこの区間ではで最小値を，はで最小値を取る．このうち小さいのは後者であり，求めるである．

以上(i), (ii)から，いずれの場合も求める最大値はである．

結局,,のうちで，が最小になることはなく，とのみ考えればよい．そして，いずれも許容角度が最小となるのはであり，このときPADは一直線でだから答え自体はすぐにでるのだが，これはグラフからはそこまではっきりわかることでもないような気もするのである程度丁寧に記述していったほうがよいだろう．